Начала учиться игре на фортепиано в возрасте 6-ти лет. С 2000 г. по 2003 г. обучалась в Детской музыкальной школе №1 им. Д.Д. Шостаковича в г. Волгодонске, а затем в Центральной музыкальной школе при Московской Государственной консерватории.

В 2014 г. окончила Московскую консерваторию (класс проф. Л. В. Рощиной) с отличием и званием «Лучший выпускник года - 2014». В настоящее время продолжает обучение в аспирантуре Московской консерватории в классе профессора Л. В. Рощиной и в Базельской музыкальной академии (Швейцария) в классе профессора Клаудио Мартинеса Менера.

Анна Цыбулёва выступала как с сольными программами, так и с оркестрами во многих городах России, в Японии, Европе и Америке. В 2012 г. она принимала участие в Международном конкурсе пианистов памяти Эмиля Гилельса в Одессе (Украина), где была удостоена Первой премии. В ноябре того же года стала одним из победителей Международного конкурса пианистов в Хамамацу (Япония). В 2013 г. участвовала в Международном фестивале в Киото (Япония) и в фестивале International Keyboard Institute & Festival в Нью-Йорке (США). В 2014 г. стала лауреатом Международного конкурса пианистов в Такамацу (Япония). 

В 2015 г. Анна Цыбулёва одержала победу на престижном Международном конкурсе пианистов в Лидсе (Великобритания). Благодаря этому успеху, пианистка получила ряд важных ангажементов в Великобритании и за ее пределами.